Die Keplersche Fassregel

I. Einleitung

Wie kam es zur Fassregel?

Auf die Idee, sich mit der Berechnung von Flächeninhalten unter einer Fasskurve und dem entsprechenden Fassvolumen zu befassen, kam Johannes Kepler, als er einige Fässer Wein, die er für seine zweite Hochzeit brauchte, bezahlen musste. Er erkannte dabei, dass der Preis, welcher sich nach dem Volumen des Fasses richtete, auf Grund von Ungenauigkeiten beim Errechnen des Volumens des gefüllten Fasses nicht exakt war. Bis dahin war es üblich, das Volumen von Fässern mit der Visiermethode zu bestimmen. Diese ließ jedoch außer Acht, dass nicht jedes Fass mit denselben Proportionen gebaut wurde. Demnach kann ein sehr hohes Fass mit schmalen Böden denselben Rauminhalt wie ein niedrigeres Fass mit breiteren Böden haben. Außerdem beauftragte der Magistrat der Stadt Ulm Kepler 1615, neue Maßeinheiten für die Stadt festzulegen.

Zitat von Kepler:

"Als einige Fässer eingekellert waren, kam am 4.Tag der Verkäufer mit der Messrute, mit der er alle Fässer, ohne Rücksicht auf ihre Form, ohne jede weitere Überlegung oder Rechnung ihrem Inhalte nach bestimmte. Die Visierrute wurde mit ihrer metallenen Spitze durch das Spundloch quer bis zu den Rändern der beiden Böden geführt, und als die beiden Längen gleich gefunden worden waren, ergab die Marke am Spundloch die Zahl der Eimer im Fasse. Ich wunderte mich, dass die Querlinie durch die Fasshälfte ein Maß für den Inhalt abgeben könne, und bezweifelte die Richtigkeit der Methode, denn ein sehr niedriges Fass mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Inhalt könnte dieselbe Visierlänge besitzen. 
Es schien mir als Neuvermähltem nicht unzweckmäßig, ein neues Prinzip mathematischer Arbeiten, nämlich die Genauigkeit dieser bequemen und allgemein wichtigen Bestimmung nach geometrischen Grundsätzen zu erforschen und die etwa vorhandenen Gesetze ans Licht zu bringen."

Wozu dient die Keplersche Fassregel?

Mit Hilfe der Keplerschen Fassregel ist es näherungsweise möglich ohne Integralrechnung die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen.

Die Keplersche Fassregel basiert auf recht einfachen Größen: der Höhe h des Fasses, dem Radius des Deckels, dem Radius des Bodens und dem Radius auf halber Höhe des Fasses.

Den Deckelradius nennen wir f(r), den Mittelradius f(m) und den Bodenradius f(s) (Die komisch anmutenden Benennungen resultieren aus der Herleitung der Keplerschen Fassregel, die später noch genauer aufgezeigt wird). Dann ergibt sich nach Kepler die relativ einfache Regel zur Bestimmung der Querschnittsfläche A eines Fasses, die sogenannte "Keplersche Fassregel".

Außerdem erhält man näherungsweise, aber relative genau, das Volumen eines Fasses:

 

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II. Herleitung

Wie kann man der Keplerschen Fassregel mathematischen Halt verleihen?

Nun, stellen wir uns zunächst vor, das Fass wäre eine einfache Tonne, hätte also einen geraden anstatt eines gewölbten seitlichen Randes. Dann wäre das Volumen dieses Körpers einfacher zu berechnen, nämlich als das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche A und der Höhe h. 
Die Grundfläche wiederum ergibt sich aus dem Produkt des Quadrats des Radius r mit der Kreiszahl Pi:  
Das Volumen V wäre demnach: 

Wie aber berechnet sich das Volumen eines Fasses, das ja einen Bauch und keinen geraden Rand hat?

Wir bedienen uns eines einfachen, in der Mathematik oft angewandten Tricks: Wir reduzieren das Problem zunächst auf ein einfacheres, eines welches wir schon ohne große Mühe lösen können, nämlich auf die oben erwähnte Tonne; allerdings betrachten wir unsere Tonne nun auf eine andere Weise: wir stellen sie nicht mehr auf, sondern wir legen sie auf die Seite, oder noch besser: wir hängen sie entlang ihrer Mitte auf, so dass die Seiten nun parallel zum Boden liegen. Zum Aufhängen benutzen wir keine Schnur, sondern die x-Achse eines Koordinatensystems zwischen den Stellen r (Mitte des Fassdeckels) und s (Mitte des Fassbodens). Den Anfangs- und den Endpunkt des Bogens nennen wir entsprechend R bzw. S. 
Den Radius r der Tonne drücken wir über eine Funktion f aus, dann errechnet sich das Volumen nun als 

Stellen wir uns die Tonne aber einmal nicht als aufgehängten Körper vor, sondern als den Raum, den ein um die x-Achse rotierendes Rechteck, dessen unterer Rand die x-Achse und dessen oberer Rand die Strecke RS bildet, einnimmt. So merken wir schnell, dass es die Fläche des Rechteckes ist, die das Volumen des Rotationskörpers", also in unserem Falle des Fasses, bestimmt. Die sogenannte Keplersche Fassregel" gibt uns den Inhalt solcher Flächen an.

Wie ersetzen wir unsere Tonne nun wieder durch das Fass?

Gerade dabei ergibt sich allerdings ein Problem: Mit einer geeigneten Funktion f können wir zwar leicht den gewölbten Rand des Fasses nachzeichnen, um so zu einer geeigneten Rotationsfläche zu gelangen. f(x) gibt uns den Radius des Fasses aber nur an einer einzigen Stelle (nämlich an der Stelle x) an. Daher unterteilen wir den Bogen, den die Funktion f nachzeichnet, in zwei Abschnitte. Idealerweise wählen wir die halbe Höhe des Fasses als Trennstelle, die Stelle nennen wir m, den entsprechenden Punkt auf dem Bogen (bzw. dem Fassrand) nennen wir M. Dann verbinden wir die Punkte R und M sowie M und S jeweils durch Strecken, um den Bogen grob schematisiert nachzeichnen zu können.

Zwar verlieren wir durch die "Schematisierung" (man sagt in der Mathematik: "Approximation" oder "Annäherung an die Kurve") an Genauigkeit, dafür können wir die erhaltene Rotationsfläche des manipulierten Fasses leicht errechnen: Beide Abschnitte stellen je ein Trapez dar, dessen Flächeninhalt A gleich dem Produkt aus der Länge der Grundseite, also in unserem Fall der halben Höhe h des (stehenden) Fasses, und der mittleren Höhe des Trapezes. 
 
Analog erhalten wir für den zweiten Abschnitt den Flächeninhalt:  
Beide zusammen ergeben die Rotationsfläche der gesamten Figur: 

Bei der Schematisierung ist die Rotationsfläche und damit auch unser Fass etwas zu klein geraten, da die Strecken RM und MS unterhalb des Bogens verlaufen.

Können wir diesen Fehler wieder etwas ausgleichen?

Als Ausgleich zu dem Verlust an Rotationsfläche, der bei der Schematisierung entstanden ist, gibt es ein weiteres Verfahren, mit dem man die Fläche unterhalb des Bogens ebenfalls schematisiert darstellt; hierbei wird die Fläche aber vergrößert, was als Ausgleich zum Verlust beim ersten Verfahren dienen soll: 
 Es ist einfacher, aber auch ungenauer als das erste Verfahren, denn wir wählen diesmal als Rotationsfläche einfach das Rechteck der Höhe f(m) zwischen den Stellen a und b, das also genau so lang ist wie das (stehende) Fass hoch; der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist demnach: 

Es bleibt die Frage, wie wir beide Verfahren miteinander kombinieren sollen.

Nun, da das erste Verfahren um den Faktor 2 genauer ist, denn hier haben wir das Fass zur Schematisierung in zwei Abschnitte unterteilt, verrechnen wir es einfach mit dem zweiten, bei dem wir das gesamte Fass sozusagen in einem Abschnitt schematisiert haben, in der Wertigkeit 2 zu 1: 

Bei der erhaltenen Näherungsformel handelt es sich um die "Keplersche Fassregel".

Um aber das Volumen eines Fasses zu berechnen, müssen wir noch weiter überlegen, denn diese Keplersche Fassregel gibt uns ja offensichtlich nur die halbe Querschnittsfläche eines Fasses an, nicht aber dessen Volumen.

Wie berechnet man also das Volumen nach Kepler?

Nun, wir vollziehen wieder jeden Schritt beider Näherungen nach: 
Bei der ersten Näherung erhalten wir zwei Trapeze. Lassen wir diese um die x-Achse rotieren, so erhalten wir je einen Kegelstumpf. Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man aus, wobei R und r die Radien, h die Höhe des Kegelstumpfes sind :  
Bei unseren beiden Trapezen wären das also  
und 

Beide zusammen ergeben wieder unsere erste Näherung: 

Um die zweite Näherung zu erhalten, lassen wir das umschriebene Rechteck rotieren und bekommen so einen Zylinder bzw. eine Tonne. Deren Flächeninhalt errechnet sich als , wobei r der Radius und h die Höhe ist. In unserem Beispiel wäre f(m) der Radius, das Volumen der zweiten Näherung folglich : 

Verrechnen wir wieder beide Näherungen in der Wertung 2:1 miteinander, so erhalten wir als endgültige Näherung für das Volumen :

 

Für den Spezialfall f(r) = f(s) ergibt sich dann:

 

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III. Mängel der Regel / Visiermethode

Mängel der Keplerschen Fassregel

Je nach Faßform ist die Keplersche Faßregel mehr oder weniger ungenau, da es sich nur um eine Näherungsformel handelt. Aber verglichen mit der geringeren Genauigkeit der Visiermethode und dem größeren mathematischen Aufwand der Integralrechnung dürfte die Keplersche Fassregel wohl die praktischste aller Lösungen sein. Zur Berechnung benötigt man nur vier Größen; diese sind dazu noch recht leicht zu ermitteln: den Radius des Deckels, den des Bodens und den des Faßbauches auf halber Höhe, schließlich noch die Höhe des Fasses. Und für diesen geringen Aufwand beweist die Keplersche Faßregel eine erstaunliche Genauigkeit, die Abweichung liegt, zumindest bei faßähnlichen Gebilden, meistens im Promille-Bereich. Dieser Fehler ist jedenfalls kleiner als die durch genaues oder ungenaues Füllen des Fasses entstehenden Unterschiede!

Mängel der Visiermethode

Bedenkt man nur die zu messenden Größen, so erscheint die Visiermethode mit nur einer solcher Größe, nämlich den Abstand vom Spundloch in die tiefste Bodenecke, sehr leicht anwendbar. Zwar ist die erzielte Genauigkeit recht groß, wenn man die Einfachheit der Methode bedenkt, aber dennoch - insbesondere im Vergleich mit den anderen hier vorgestellten Methoden - nicht zufriedenstellend. 
Der Hauptmangel der Visiermethode ist in der Herleitung deutlich zu erkennen: Man geht von einer bestimmten Fassform aus, bei der die Oberseite und die Unterseite gleich lang, die Verlängerung der Oberseite bis über am weitesten ausgewölbten Punkt des Fassbauches genauso lang ist wie die halbe Höhe des Fasses. 
Darüber hinaus wird, ebenfalls in der Herleitung erkennbar, aufgerundet: 0,5555...s³ wird gerundet zu 6s³. 
Ob sich diese beiden Rundungen gegenseitig aufheben oder eher verschlimmern, hängt von der endgültigen Form des einzelnen Fasses ab. Wie sehr sich diese Rundungen bemerkbar machen, zeigt der Genauigkeitsvergleich der einzelnen Methoden.

Herleitung der Visisermethode:

Ersetzt man das Fass durch einen Zylinder, dessen Durchmesser halb so groß wie seine Höhe ist so gilt für sein Volumen folgendes: 
allgemein:

 
für diesen Fall:  
(wobei "(a/2)" den halben Durchmesser und somit den Radius der Grundseite darstellt).

Und da s² = 2a² (nach Pythagoras), folgt:

Man kann also ungefähr sagen V = 0,6 s³

Dieser letzte Term entspricht genau der Visiermethode.

Wie man hier sieht, ist neben der Abweichung der Formen noch eine Ungenauigkeit beim Aufrunden vorhanden, daher ist die Visiermethode gerade in puncto Genauigkeit mit erheblichen Mängeln versehen.

 

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IV. Anwendungsmöglichkeiten

Mit Hilfe der Keplerschen Fassregel kann man mit relativ wenig Aufwand eine krummlinig begrenzte Fläche A im Intervall [a,b] ermitteln.

Dazu ersetzt man den Funktionsgraphen durch eine Parabel , die den Funktionsgraphen f(x) in den drei Punkten P0, P1, P2 schneidet. 

Die drei Funktionswerte erhält man, indem man a, [(a+b)/2) und b in die Parabelgleichung einsetzt.

Jetzt muss man diese nur noch in die Formel zur Keplerschen Fassregel einsetzen.

Weitere Anwendungsmöglichkeiten u.a.:

Berechnung von... 
...Kreisflächen 
...Fläche unter der Sinuskurve 
...Fläche unter der Parabel 
...Kegeln (-stumpfe) 
...Kugeln 
...Rotationsparaboloiden ( = Rotationskörper einer Parabel )

 

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V. Beispiel-Aufgabe

Verfolgt man die Entwicklung der Rotationskörper historisch, so kommt man nicht umhin zu erkennen, dass am Anfang eine recht pragmatische Frage stand. Die Frage war: „Wie kann man das Volumen eines Weinfasses berechnen“. 
Deshalb soll auch die hier vorgestellte Beispiel-aufgabe auf genau diese Ursprungsfragestellung zurückgehen:

Die Innenwand unseres Fasses wird durch die Funktion f(x)= -(2/5)x^2+0,5. 
Es hat eine Höhe von einem Meter und der Radius des Deckels und des Bodens stimmen überein. 
Die Außenwand wird durch die Funktion f(x)= -(2/5)x^2+0,55 festgelegt (1LE entspricht 1m).

a) Bestimme die notwendigen Radien und überprüfe durch Berechnung des entsprechenden Rotationskörpers, ob mit der Fassregel das Volumen unseres Fasses näherungsweise berechnet werden kann.

b) Bestimme die Masse des leeren Holzfasses unter der Annahme, dass das verwandte Holz eine Dichte von 1070 (kg/m^3) hat.

Teilaufgabe a):                                                                                 Teilaufgabe b):

    

Ein Vergleich des errechneten Volumens mit dem Ergebnis das die Visiermethode ergibt:

 

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Philosophie = „Liebe zur Weisheit“

I. Kepler und die Philosophie

Am 15. Mai 1618 veröffentlichte Kepler sein Werk „Harmonices Mundi“, das vom Lateinischen ins Deutsche übersetzt die „Harmonie der Welt“ bedeutet. In diesem Buch entwickelte Kepler den Begriff „Sphärenharmonie“, der auf Pythagoras zurückgeht, weiter.

Kepler war nicht nur Naturwissenschaftler sondern auch Philosoph. Kepler hatte drei Grundgedanken:

• Das All gehorche einer einheitlichen Gesetzmäßigkeit.
• "Der menschliche Geist durchschaue quantitative Verhältnisse am klarsten; er sei recht eigentlich geschaffen, diese aufzufassen."
• "Ubi materia, ibi geometria.” (Wo Materie ist - da ist Mathematik)

Kepler suchte ähnlich wie Pythagoras das Geheimnis der Welt nicht wie die Milesier in einem Urstoff, sondern in einem Urgesetz. So waren für Pythagoras die Zahlen das eigentliche Geheimnis und die grundlegenden Bausteine der Welt.

In der europäischen Neuzeit haben viele Philosophen, wie auch z.B. Nikolaus von Kues, die Meinung vertreten, dass „Gott die Welt unter Zugrundelegung mathematischer Gesetze geschaffen hat“. 
Kepler sah den Fehler der antiken griechischen Philosophen darin, dass sie versuchten, die Natur mit qualitativ verschiedenen Kräften zu erklären. Im Gegensatz dazu sah er die Natur als durch und durch einheitlich und die Unterschiede in ihr nur als quantitative.

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II. Qualität und Quantität

Was versteht man unter Qualität?

Das Wort kommt aus dem Lateinischen und ist mit Wörtern wie Beschaffenheit, Eigenschaft, Wert etc. zu übersetzen. In der Philosophie bedeutet dieser Begriff darüber hinaus "etwas Neues", oft "Höheres", auf das Vorherige beruhend aber dennoch anderes. 
Die Philosophen konzentrieren sich auf die Qualitäten im Sein und auf die Entstehung neuer Werte im Verlauf der Entwicklung bzw. der Zeit.

Beispiele hierfür wären zum Beispiel die Entstehung von:

• Geist
  (der Gebrauch dieses Wortes ist nicht einheitlich, häufige Verwendungen im Sinne von „aktivem Bewusstsein“, Vernunft, Verstand, Seele)
• Gesellschaft 
  (= sowohl die Menschheit als Ganzes als auch bestimmte Gruppen von Menschen, beispielsweise ein Volk, oder ein strukturierter, räumlich abgegrenzter Zusammenhang zwischen Menschen)
• Ethik 
  ((von ethos) = die Lehre vom richtigen Handeln und Wollen, eng damit verbunden ist die Frage, was gut und böse ist)
• Ästhetik 
  (= ursprünglich Lehre von den sinnlichen Wahrnehmungen, heute versteht man darunter in erster Linie die Lehre von den Gesetzmäßigkeiten und der Harmonie in Natur und Kunst)

Was versteht man unter Quantität?

Das Wort Quantität stammt aus dem Lateinischen und entspricht der mess- oder zählbaren Menge.

Diese Rückführung qualitativer Unterschiede auf quantitative Verhältnisse war eine der Voraussetzungen für den Erfolg der modernen Naturwissenschaften.

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III. Das anthropische Prinzip

Keplers Anschauungen entsprachen dem, was man heute als anthropisches Prinzip bezeichnet:

„Ich fühle mich von einer unaussprechlichen Verzückung ergriffen ob des göttlichen Schauspiels der himmlischen Harmonie. Denn wir sehen hier, wie Gott gleich einem menschlichen Baumeister, der Ordnung und Regel gemäß, an die Grundlegung der Welt herangetreten ist.“

Das anthropische Prinzip (von griechisch anthropos „Mensch“) besagt, dass die enorme Vielzahl von Naturgesetzen und Naturkonstanten im Universum exakt so aufeinander abgestimmt sind, dass sie Leben ermöglichen, welches diese unwahrscheinlichen Bedingungen als solche auch zu erkennen vermag.

Die Entwicklung von irdischen Leben wäre wohl unmöglich, wenn 
- die physikalischen Gesetze 
- die Werte der Naturkonstanten 
merklich von den im Labor festgestellten abweichen würden. 
Daher dürften wir auch nicht imstande sein, ein wesentlich anderes Universum zu beobachten als das unsrige.

Daraus folgt:

1. Sie kann der menschliche Geist in mehr oder weniger weiten Grenzen konzipieren und begreifen
2. Sie haben mathematische Form

Nicht nur dass der Mensch in das Universum hineinpasst, das Universum passt auch zum Menschen. Man stelle sich ein Universum vor in dem sich irgendeine der grundlegenden dimensionslosen physikalischen Konstanten in die eine oder andere Richtung um wenige Prozent verändern würde. In einem solchen Universum hätte der Mensch nie ins Dasein kommen können. Das ist der Dreh- und Angelpunkt des anthropischen Prinzips. Gemäß diesem Prinzip liegt dem gesamten Mechanismus und dem Aufbau der Welt ein die Existenz von Leben ermöglichender Faktor zugrunde. 
(John Barrow und Frank Tipler The Anthropic Cosmological Principle Seite 7)

Mit folgendem Satz führte Brandon Carter 1973 das Anthropische Prinzip in die wissenschaftliche Diskussion ein:

"We must be prepared to take account of the fact that our location in the universe is necessarily privileged to the extent of being compatible with our existence as observers."

"Cogito ergo mundus talis est" 
= Ich meine, also ist das Weltall so beschaffen (daß es mich als denkendes Wesen geben kann)

Die Vertreter des AP weisen darauf hin, dass das Universum in seiner Gesamtheit, (von wem oder was auch immer) so fein abgestimmt ist, dass sich daraus zwangsläufig Leben in der Form wie wir es kennen entwickeln musste. Denn wiche auch nur eine der grundlegenden naturwissenschaftlichen Konstanten von ihrem Wert ab, so wäre das Leben in seiner Form nicht möglich. Dass sich binnen 13,7 Milliarden Jahren (seit dem „Urknall“) quasi aus dem Nichts Bewusstsein bilden konnte, setzte schier unzählige Anfangsbedingungen, Prozesse und Evolutionen voraus, von denen uns allenfalls nur Mosaiksteine bekannt sind. So hängt die Entwicklung des Kosmos entscheidend von den Anfangsbedingungen der Expansion und den Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit c oder dem Planckschen Wirkungsquantum h und den Massen der Elementarteilchen sowie der Kräftehierarchie der Wechselwirkungen ab.

 

Beim Studium des APs muss man sich mit den beiden hauptsächlichen Varianten auseinandersetzen:

• Schwaches Anthropisches Prinzip (engl. weak anthropic principle, WAP): 
  „Die beobachteten Werte aller physikalischen und kosmologischen Größen sind nicht gleich wahrscheinlich aber sie nehmen Werte an, die beschränkt sind durch die Erfordernisse für die Existenz von Orten an denen Kohlenstoff basiertes Leben entwickeln kann und durch die Erfordernis dass das Universum bereits alt genug sein muss, dass dieser Vorgang bereits eingetreten ist.“
• Starkes Antropisches Prinzip (engl. strong anthropic principle, SAP): 
  „.. das Universum (und deswegen die fundamentalen Parameter von welchen es abhängt) muss derart sein, dass es die Entstehung von Beobachtern in ihm in manchen Phasen erlaubt.“

Die schwache Version wurde als „Argument aus Mangel an Vorstellungskraft“ kritisiert für die Annahme, dass keine anderen Formen von Leben möglich seien. Auch die starke Version wurde kritisiert als nicht wissenschaftlich prüfbar bzw. nicht falsifizierbar sowie als schlicht unnötig. Das Wort „muss“ in der Definition des starken APs ist für die mehrdeutige Interpretation des Prinzips verantwortlich, denn es kann als Forderung der schlichten logischen Verträglichkeit der Beobachtungsdaten mit der Beobachterexistenz als auch in einem tieferen teleologischen Sinn gedeutet werden. Weil das starke AP teleologisch gedeutet werden kann, wird ihm häufig ein unwissenschaftlicher Charakter unterstellt.

Es gab noch viele andere Wissenschaftlicher, die sich zu dem AP äußerten, so zum Beispiel:

- Barrow und Tipler: „Intelligente Informationsverarbeitung muss im Universum entstehen, und, wenn sie einmal entstanden ist, wird sie niemals aussterben“ 
Sie nannten es das endgültige anthropische Prinzip (Final Anthropic Principle).

- John Wheeler: „Beobachter sind notwendig, um das Universum zu erzeugen.“

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IV. Was ist „Teleologie“?

Die Teleologie (griechisch, im altgriechischen Sinn Ziel, Sinn und Lehre) ist die Lehre der ziel- und zweckbestimmten Ordnung von Gegenständen und Ereignissen.

Nach teleologischen Anschauungen, sind Naturphänomene einer inneren Zweckgerichtetheit unterstellt. Dabei wird nach Aristoteles zwischen der causa materialis (=Stoffursache) und der causa finalis (=Zweckursache) unterschieden. Man versucht Vorgänge in der Natur nicht über Wirkursachen sondern über Zielzustände zu erklären. So sagt die Teleologie aus, dass es in der Natur so etwas wie Absicht und Planung gebe.

Das teleologische Prinzip wird mittlerweile von vielen Wissenschaften abgelehnt. Man hat zum Beispiel in der Biologie versucht die gesamte Entwicklung eines Eies zu einer bestimmten Spezies teleologisch zu erklären. Jedoch konnte keine Erklärung für das Wirken eines solchen letzten Prinzips gefunden werden und die Erkenntnisse der Genetik und der Paläontologie (= Wissenschaft von den Lebewesen vergangener Erdzeitalter) brachten die Teleologie schließlich vollständig in Verruf. Manche Philosophen sehen es als größte Leistung Darwins an, dass er Aristoteles' vierte und letzte Ursache widerlegt hätte, indem er zeigte, dass eine Entwicklung hin zu einem bestimmten Ziel durch die natürliche Auslese erklärt werden könne.

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Die Harmonices Mundi

I. Allgemeines

In diesem Buch, das übersetzt Weltharmonik heißt, legte Kepler in ausgereifter Form 1619 seine Gedanken über den Aufbau der Welt dar.
Kepler fasst es geradezu als Pflicht auf, „in behutsamer Weise nach den Zahlen, Maßen und Gewichten zu forschen, nach deren Norm Gott alles geschaffen hat“, also nach deren „Harmonien“. Er bewegt sich dabei auf drei Gebieten, der Geometrie, Astronomie und Musik, das ist der Teil, der hier genauer in Augenschein genommen werden soll.

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II. Wie kam er auf die Musik?

Seine Überlegungen waren eine Anknüpfung an die griechische Harmonielehre des Pythagoras, die die Verhältnisse der Tonabstände zueinander beschreibt und gerade durch die Saiteninstrumente an Bedeutung gewinnt.

Teilt man sie 2/3 erhält man die Quinte. Die weltenbildenden Verhältnisse sind 1/2, 3/5, 5/8, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6.

Jetzt beginnt Kepler mit seinen Rechnungen. Er begründet jeden Schritt den er tut entweder mit mathematischen Gesetzen oder auf seiner Logik basierenden Aussagen. Das Verhältnis 1/2 beschreibt er zum Beispiel so: 
„Ist nicht die Kreisteilung 1/2 die einfachste und ursprünglichste, wie auch das musikalische Intervall 1/2 die am meisten auffallende und ursprüngliche Oktav bildet?" 
Er spekuliert weiter: „So hat Gott nicht einmal die Töne ohne Geometrie in die Welt eingeführt."

„Diese Seele wird froh gestimmt, wenn sie harmonische Töne, übelgelaunt, wenn sie nichtharmonische Töne wahrnimmt. Von diesen seelischen Stimmungen rührt die Bezeichnung Konsonanzen für die harmonischen und die Bezeichnung Dissonanzen für die nichtharmonischen Proportionen her. Kommt dazu noch die weitere harmonische Proportion, die der zeitlichen Länge und Kürze der Töne und Stimmen, dann regt die Seele ihren Körper zu Tanzbewegungen, die Zunge zu beschwingter Rede nach den gleichen Gesetzen an… Alles lebt, solange die Harmonien dauern, alles erschlafft, wenn sie gestört sind.“

Auf dieser Grundlage baut Kepler seine Harmonielehre auf, indem er sie an einer Seite eines Monochords (eine gespannte Saite mit Resonanzkörper) untersucht. Er erkennt die Teilungen die Wohlklänge liefern. Und nach entsprechender Auswahl gelangt er zu 7 Intervallen („Die Zahl der harmonischen Teilungen einer Saite ist 7 und nicht größer.“), die auch die musikalischen Urharmonien darstellen, sie lassen sich alle auf urbildliche geometrische Formen zurückführen. Er entwickelt einen Harmonienstammbaum. 

Diese Intervalle: Oktav, Quint, Quart, große Terz, Kleine Terz, große Sext und kleine Sext beruhen alle auf sehr einfachen Zahlenverhältnissen, nämlich auf Schwingungsverhältnissen von 1:2, 2:3, 3:4, 4:5, 5:6, 5:8 und 3:5.

„Ein dissonantes Intervall wie der Tritonus (=übermäßige Quart) entspricht dem nicht so einfachen Verhältnis von 45:64.“

Als einen anderen Weg, um zu den Urharmonien zu gelangen, entwickelt Kepler eine aus sich selbst hervorgehende Ahnenreihe der harmonischen Teilung einer Saite, wie der harmonische Stammbaum zeigt. 
Die Zahlenverhältnisse (Brüche) 1/1, 1/2, 1/3, 2/3 usw. des Stammbaums geben an, wie eine Saite geteilt werden muss. 1/3 bedeutet dabei z.B., dass eine Saite in 1+3 = 4 gleiche Teile unterteilt wird. Es ergeben sich daraus 3 Schwingungsverhältnisse, nämlich das der Teile untereinander: 1 zu 3 (=1/3) und die Verhältnisse der Teile zum Ganzen: 1/4 und 3/4. Mit den entstehenden Verhältnissen 1/4 und 3/4 werden neue Teilungen der Saite möglich, die nach dem gleichen Prinzip weitergeführt werden bis eine 7er, 9er, 11er und 13er Teilung der Saite gefordert wird, die zum Abbruch der Reihe führt, da diese aufgrund Keplers Untersuchungen dissonant sind, weil ein 7-Eck, 9-Eck, 11-Eck und 13-Eck im Kreis nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

 
Prinzip der Entwicklung der Ableitung der sieben konsonanten Intervalle

Daraus ergeben sich innerhalb einer Oktav sieben konsonante Intervalle:

• 1/2 Oktav
• 2/3 Quint
• 3/4 Quart
• 3/5 große Sext
• 4/5 große Terz
• 5/6 kleine Terz
• 5/8 kleine Sext

„Ich habe diese 7 Schnitte der Saite zuerst aus dem Gehör gefunden, also in einer Zahl, die gleich ist der Zahl der Harmonien innerhalb einer Oktav. Hernach habe ich die Ursachen nicht ohne große Mühe aus den tiefsten Gründen der Geometrie ermittelt.“

Dissonanzen in der Musik sind jedoch für Kepler nichts Schlechtes, sondern nur weniger zusammenklingende Proportionen:

„Was die erste und hauptsächlichste Würze des melodischen Gesangs anlangt, die Dissonanz, so darf diese nicht irgendeinem beliebigen unharmonischen Intervall entnommen werden, sondern nur den harmonischen Intervallen. 
Wenn ferner auch hervorragende Meister bisweilen von größeren Dissonanzen Gebrauch machen, so dass der dissonierende Ton um einen ganzen Ton sich von dem unterscheidet, der eine Konsonanz bilden würde, so geschieht das nur, um die mächtigsten Gemütsbewegungen auszudrücken oder hervorzurufen. Die gewöhnliche, mit Wohlgefallen verknüpfte und daher in gewisser Weise natürliche Dissonanz wird von dem Halbton gebildet. Die Ursache hiefür ist (damit das Ende dem Anfang entspricht) in den tiefsten Gründen der Geometrie zu suchen“

Fazit:

Nicht die Zahlen allein, sondern das menschliche Gehör legt die Grenze zwischen Dissonanz und Konsonanz fest. Aber: Konsonanzen haben sich in der Geometrie als das Verhältnis von konstruierbaren Kreisteilen zum ganzen Kreis erwiesen.

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III. Doch wie stellt Kepler den Bezug von der Astronomie zur Musik her?

„Nicht darauf muss man sehen, so dachte ich, wie weit jeder einzelnen Planet von der Sonne entfernt ist, noch darauf, welche Strecke er an einem Tag durchmisst. Denn dies ist Gegenstand wissenschaftlicher, astronomischer Erkenntnis, nicht Sache des Instinkts. Man muss vielleicht die Größe des Winkels ins Auge fassen, den die tägliche Bewegung eines jeden Planeten am Sonnenkörper ausmacht, oder die Größe des Bogens, den er an einem Tag auf einem gemeinsamen, um die Sonne beschriebenen Kreis, d.h. auf der Ekliptik, zurückzulegen scheint. Es können dann diese scheinbaren Größen durch die Vermittlung des Lichts auf den Sonnenkörper übertragen werden…“

So wie der Sehvorgang des Auges wesentlich durch den Einfallswinkel des Lichtstrahles beeinflusst würde, so nimmt nach Kepler die empfindende Seele von Erde und Mensch den Einfallswinkel von Sonne, Mond und Sternen auf und reagiert entsprechend harmonisch. Ein Winkel am Kreis der Ekliptik (Ebene der Planeten) entspricht dabei der Teilung einer Saite.

Keplers Auffassung nach kann eine harmonische und eine disharmonische Stellung der Gestirne auf Anlage und Temperament fördernd bzw. hemmend einwirken; sie stellt gewissermaßen die Musik dar, nach der die Seele „tanzen“ muss.

Er verwendet das Notensystem, um zu beweisen, dass die sechs Planeten zusammen eine Harmonie ergeben, wenn man ihre Verhältnisse zueinander in das Notensystem überträgt.

Da Kepler die Vorstellung der Pythagoreer von der Sphärenharmonie und die Idee einer Planetentonleiter endlich auch mathematisch beweisen wollte, begann er nach Harmonien in den Bewegungen und Entfernungen der Planeten zu suchen. Die Umlaufszeiten im Verhältnis zueinander ergaben keine harmonischen Proportionen.

Schließlich betrachtete Kepler die extremen Winkelgeschwindigkeiten (die zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Kreisbewegung, also die Ableitung des Winkels nach der Zeit) der Planeten von der Sonne aus gesehen, also die maximalen und minimalen Tagebögen der Planeten am „Sonnenhimmel“.

Diese ins Verhältnis zueinander gesetzt ergeben in fast allen Fällen vollkommene Harmonien.

 

Saturn	Aphel a Perihel b	a:b = 4:5 Große Terz a:d = 1:3 Zwölf Ganztöne c:d = 5:6 Kleine Terz
Jupiter	Aphel c Perihel d	b:c = 1:2 Oktav c: f = 1:8 Drei Oktaven e: f = 2:3 Reine Quint
Mars	Aphel e Perihel f	d:e = 5:24 Kleine Terz + zwei Oktaven e:h = 5:12 Kleine Terz + eine Oktav
Erde	Aphel g Perihel h	g:h = 15:16 Diatonischer Halbton f:g = 2:3 Reine Quint g:k = 3:5 Große Sext
Venus	Aphel i Perihel k	i:k = 24:25 Chromatischer Halbton h:i = 5:8 Kleine Sext i:m = 1:4 Doppeloktav
Merkur	Aphel l Perihel m	l:m = 5:12 Kleine Terz + Oktav k:l = 3:5 Große Sext

Die Verhältnisse zwischen den minimalen (im Aphel) und maximalen (im Perihel) Winkelgeschwindigkeiten einzelner und verschiedener Planeten von der Sonne aus gesehen.

[Das Perihel ist der sonnennächste, das Aphel der sonnenfernste Punkt einer Planetenbahn]

Beispiel: 

Distanz von der Sonne (Erde-Sonne: 1000)

Die Abweichungen der 1989 gemessenen Planetenbewegungen von der Forderung der reinen Harmonie sind so klein, dass in den meisten Fällen das menschliche Ohr das aus der Planetenbewegung errechnete musikalische Intervall von dem reinen Intervall nicht unterscheiden kann.

So vergleicht Kepler dann, die von ihm entdeckten Harmonien der Planeten mit der Entdeckung des mehrstimmigen figurierten Gesangs, der damals erst wenige Jahrhunderte alt war:

„Wie sich der einfache oder einstimmige Gesang, den man Choralgesang nennt und der allein den Alten bekannt war, zum mehrstimmigen, sogenannten figurierten Gesang verhält, der eine Erfindung der letzten Jahrhunderte ist, so verhalten sich auch die Harmonien, die die einzelnen Planeten bilden, zu den Harmonien der Planetenpaare.“

Die von Kepler bezeichneten 7 Urharmonien der gespannten und geteilten Saite können somit auf der Sonne durch das Licht der Planeten wahrgenommen werden.

Denn Kepler sagt, dass von der Sonne als dynamischem Zentrum eine Kraft ausgehe. Diese Kraft würde alle Planeten auf elliptischen Bahnen bewegen (1.Gesetz). Elliptische Bahnen ergeben darüberhinaus sich ändernde Abstände und wechselnde Geschwindigkeiten der Planeten (2. Gesetz). Durch diesen Wechsel jedoch werden die gefundenen Harmonien erst möglich.

So folgert Kepler:

„Es sind also die Himmelsbewegungen nichts anderes als eine fortwährende, mehrstimmige Musik (durch den Verstand, nicht das Ohr fassbar), eine Musik, die durch dissonierende Spannungen, gleichsam durch Synkopen und Kadenzen hindurch (wie sie die Menschen in Nachahmung jener natürlichen Dissonanzen anwenden) auf bestimmte, vorgezeichnete, je sechsgliedrige (gleichsam sechsstimmige) Klauseln lossteuert und dadurch in dem unermesslichen Ablauf der Zeit unterscheidende Merkmale setzt. Es ist daher nicht mehr verwunderlich, dass der Mensch, der Nachahmer seines Schöpfers, endlich die Kunst des mehrstimmigen Gesangs, die den Alten unbekannt war, entdeckt hat. Er wollte die fortlaufende Dauer der Weltzeit in einem kurzen Teil einer Stunde mit einer kunstvollen Symphonie mehrerer Stimmen spielen und das Wohlgefallen des göttlichen Werkmeisters an seinen Werken soweit wie möglich nachkosten in dem so lieblichen Wonnegefühl, das ihm diese Musik in der Nachahmung Gottes bereitet“

Der Franzose Francis Warrain hat im Jahre 1942 Keplers Berechnungen überprüft und für richtig befunden. Er ermittelte auch harmonische Proportionen bei denen erst später entdeckten Planeten Uranus, Neptun und Pluto.

„Es ergaben sich mit den neuen Planeten 38 Intervalle, also 76 Töne, davon waren 22 Intervalle Urharmonien, 72 Töne gehören der Dur-Tonleiter an, 58 Töne entfallen auf den Dreiklang c{e{g , 44 Töne entfallen auf den Molldreiklang a{c{e.“

Die amerikanischen Professoren Rodgers und Ruff haben das Planetenorchester 1979 nach Keplers Anweisung auf dem Synthesizer nachgespielt. Ein Jahr wird hier zu wenigen Sekunden beschleunigt.

Vergleich Keplers „Komposition" 

Kepler:

„Die Planeten machten eine Art Musik, Harmonien die wir nur mit der Seele wahrnehmen können!“

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Teleskope

I. Einleitung

Das Wort „Teleskop“ stammt ursprünglich aus dem griechischen. Es setzt sich aus zwei Worten zusammen.
tele (fern) und skopein (betrachten)

Warum benötigt man ein Teleskop?

Wie die Übersetzung des Namens schon sagt, dient es um in die Ferne sehen zu können. Es gibt Bereiche wie zum Beispiel die Astronomie, welche aufgrund der gegebnen Umstände und der enormen Entfernungen zwangsläufig auf Beobachtungen aus der Ferne angewiesen sind. Man kann in der Astronomie nicht so nah an ein Geschehen herantreten, dass man alle Details erkennen kann. Wir sind durch die Leistung unserer Augen in bestimmter Weise eingeschränkt. Diese sind allgemeine Werkzeuge unseres Körpers. Leider haben sie eine minimale Vergrößerungskapazität, eine limitierte Auflösung und auch eine Begrenzung des Lichteinfalls. So sind wir, wenn wir die Leistungsfähigkeit unserer Augen verbessern wollen auf optische Hilfsmittel wie zum Beispiel Brillen, Ferngläser oder Teleskope angewiesen. Das Teleskop ein optisches Hilfsmittel, welches sehr ferne Gegenstände vergrößert darstellen kann. Es zeigt einen kleinen Ausschnitt und vergrößert die darin enthaltenen fernen Objekte.

Geschichte

Leider kann man den genauen Zeitpunkt der Erfindung des Teleskops nur sehr vage angeben. Ähnlich verhält es sich bei der Frage nach dem Erfinder. Grundsätzlich kann man sagen, dass für diese Rolle sehr viele Astronomen in Frage kommen. In diesem Zusammenhang werden sehr häufig Namen wie Galileo Galilei, Simon Marius so wie Thomas Harriot genannt.

Diese Astronomen haben es zwar nicht mit Sicherheit erfunden, sicher ist nur, dass sie die ersten Menschen waren, die das Fernrohr zum Himmel richteten, und das spielte sich um die Jahre 1609/1610 herum ab. 
Galilei geriet mit Marius sogar in einen Streit, weil jeder von ihnen jeweils behauptete, die vier hellsten Jupitermonde als erster gesehen zu haben

Galilei sichtete diese erstmalig im Januar 1610, was eindeutig belegt ist. Das Bild links zeigt seine Zeichnung, die er in Folge seiner Entdeckung anfertigte. Marius behauptete, die Jupitermonde früher gesehen zu haben, was letztlich nicht nachweisbar ist. So wird Galilei für gewöhnlich als Entdecker der vier hellsten Jupitermonde geführt, obwohl es Hinweise darauf gibt, dass Harriot die Monde noch vor Galilei und Marius gesehen, aber ihre wahre Natur nicht erkannt hat.

Mittlerweile glaubt man aber daran, dass die wirkliche Erfindung ein Holländer namens Johannes Lippershey machte. Dies soll mit großer Wahrscheinlichkeit um das Jahr 1608 erfolgt sein. Er war von Beruf Brillenmacher.

1609 entwickelte Galilei ein zusammengesetztes Mikroskop, welches aus einer konvexen (=nach außen gewölbt) und einer konkaven (= nach innen gewölbt) Linse bestand. Diese verbesserte und verfeinerte Version Lippersheys, von ihm "Occhiolino" genannt, schenkte er 1612 dem polnischen König Sigismund III.

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II. Wirkungsweise

Definitionen

Sammellinse (auch Konvexlinse, Positivlinse) = ist eine Linse mit positiver, vergrößernder Brechkraft. Die Sammellinse sammelt das Licht und fokussiert es in ihrem Brennpunkt.

Brennpunkt = der Punkt, in dem eine optische Linse oder ein Hohlspiegel alle parallelen Lichtstrahlen sammelt

Brennweite = Abstand zwischen Objektiv und Brennpunkt

Objektiv = Ein Objektiv ist ein sammelndes optisches System, das eine reelle optische Abbildung eines Objektes erzeugt

Okular = eine Linse oder Linsensystem, durch das man mit dem Auge (lat. oculus) in ein optisches System blickt

Die allgemeine Wirkungsweise von Teleskopen

Man bündelt parallel einfallende Lichtstrahlen mit Hilfe eines Objektivs in einem Punkt, dem so genannten Fokalpunkt (Brennpunkt). Das Objektiv, also das Licht sammelnde Medium, das dem zu beobachtenden Objekt zugewandt ist, ist eine bikonvexe, also beidseitig erhabene Glaslinse. Diese Strahlen werden sodann von einer Linse oder einer Gruppe von Linsen, Okular genannt, vergrößert. Dieses Okular wird hinter dem Brennpunkt platziert. Der Durchmesser des zu beobachtenden Gebietes richtet sich nach dem Gesichtsfeld des verwendeten Okulars.

Das eigentliche astronomische Fernrohr wurde von Johannes Kepler entwickelt und beschrieben, weshalb man bis heute vom Keplerschen Fernrohr spricht. Es benutzt als Okular eine bikonvexe Linse. Dieses Teleskop entwirft auf dem Kopf stehende Bilder. Sämtliche heutigen Linsenteleskope vom Amateurinstrument bis zum professionellen Sternwartengerät beruhen auf dem Prinzip des Keplerschen Fernrohrs. Da die Bilderzeugung bei dieser Teleskopart auf Brechung ("Refraktion") beruht, spricht man auch von einem "Refraktor".

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III. Refraktor - Reflektor

Es gibt grundsätzlich zwei Arten, Licht zu bündeln:

1. Man schickt die Lichtstrahlen durch eine oder mehrere Linsen, "gebogene" und polierte "Glasscheiben". Das Gerät wird aufgrund der Lichtbrechung als Refraktor bezeichnet.
2. Man verwendet zum Sammeln des Lichts einen gekrümmten Spiegel. Das am meisten verbreitete Design ist der Newton-Reflektor, benannt nach seinem Erfinder Isaac Newton.

1.) Refraktor

Nach dem Konstruktionsprinzip unterscheidet man das Galilei-Fernrohr oder holländische Fernrohr vom Kepler-Fernrohr oder astronomischen Fernrohr.

Galilei-Fernrohr

Das Galilei-Fernrohr hat als Objektiv eine Sammellinse und als Okular eine Zerstreuungslinse kleinerer Brennweite. Es besitzt ein kleines Gesichtsfeld, stellt die Objekte aber aufrecht und seitenrichtig dar. Es ist heute nur noch als Opernglas und als fest installiertes Aussichtsfernrohr in Gebrauch.

Kepler-Fernrohr

Beim Kepler-Fernrohr werden sowohl für das Objektiv als auch für das Okular Sammellinsen verwendet. Die Vergrößerung eines Refraktors ergibt sich aus dem Verhältnis der Brennweiten des Objektivs und des Okulars. Ein Gerät mit 1.000 mm Objektiv-Brennweite und 5 mm Okular-Brennweite besitzt somit eine 200fache Vergrößerung.

Der Unterschied ist hauptsächlich im Strahlengang erkennbar

Vorteile:

• Staub und Schmutz kann aufgrund der geschlossenen Optik nicht eindringen
• Optik ist in sich geschlossen und benötigt keine regelmäßige Justierung

• System hat keine zentrale Abschattung die den Lichteinfall schwächt und das Beugungsbild einschränken kann

Problem:

Durch die unterschiedlichen Brennpunkten der verschiedenen Wellenlängen, können sich um helle Objekte Farbsäume bilden. Deswegen muss mit zusätzlichen Linsen oder speziellem Glas entgegengewirkt werden. Dies erfordert aber meist eine Sonderanfertigung und das ist sehr teuer

Reales Beispiel:

       

2.) Reflektor

Ein Spiegel wird durch Beschichtung eines konkaven Glases mit einer reflektierenden Schicht hergestellt. Das auftreffende Licht wird von der Oberfläche reflektiert und im Brennpunkt vereinigt. Da es keine Linsen durchläuft, produziert ein Spiegelteleskop auch keine Farbfehler.

Leider wirkt das Konzept nur bei Spiegeln mit Öffnungsverhältnis f/9 oder länger. Bei größeren Spiegeln (ab 150mm) oder kurzen Brennweiten unter f/8 wird das Licht von dieser Art von Spiegeln jedoch nicht exakt in exakt in einem Punkt vereinigt.

Die sphärische Abweichung entsteht, wenn Lichtstrahlen von Rand des Spiegels in einem anderen Brennpunkt als Strahlen von zentraleren Spiegelteilen eintreffen. Zur Bewältigung dieses Problems verwendet man Spiegel mit einer gekrümmten Form.

Vorteile:

• nur zwei optische Oberflächen müssen bearbeitet und poliert werden, das macht es preiswerter in der Produktion
• keine Farbfehler, da das Licht keine Linse durchläuft

Nachteile:

• lange Tuben aufgrund von längerer Brennweite, das macht das Teleskop viel anfälliger gegen Wind als andere Designs
• Durch die Stellung des Spiegels im Strahlengang gibt es eine Bildverschlechterung und Lichtverlust. Das Licht muss an den Metallstreben die den Spiegel befestigen, vorbei, dies führt zu einem Qualitätsverlust des Lichtes

Reales Beispiel:

                      

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IV. Bedeutende Großteleskope in der Geschichte

William Herschel (1738-1822) baute die größten Teleskope seiner Zeit und wurde vor allem durch die Entdeckung des Uranus 1781 bekannt. Aber er versuchte auch als einer der ersten Astronomen, die Struktur der Milchstraße zu ergründen.

Im Observatorium des amerikanischen Astronomen Percival Lowell (1855-1916) in Flagstaffs, gibt es einen Refraktor mit einem Objektivdurchmesser von 61 Zentimetern.
Bekannt geworden ist Lowell vor allem durch seine Marsbeobachtungen und seine Suche nach dem "Planeten X", dem Transneptun.

Das Lick-Observatorium auf dem 1283 Meter hohen Mount Hamilton unweit der kalifornischen Stadt San José besitzt einen Refraktor mit einem Objektivdurchmesser von 90 cm.(links)

Das bis heute größte Linsenfernrohr der Erde wurde 1897 am Lake Geneva im amerikanischen Bundesstaat Wisconsin in der Nähe von Chicago eingeweiht. Nach dessen Sponsor Charles Tyson Yerkes (1837-1905) spricht man bis heute vom Yerkes-Observatorium. Dessen Objektiv mit einem Durchmesser von 102 Zentimetern war auch aus dem Hause Clark(unten)

Das Konstruieren von Fernrohren hatte lange Zeit einen wettbewerbsähnlichen Charakter. Denn es gab viel zu entdecken im All. Jedoch ist vermutlich eine Objektivlinse mit einem Durchmesser von einem Meter das Limit. Denn noch größere Linsen würden sich aufgrund ihres Eigengewichtes durchbiegen, da sie ja auch nur an ihren Rändern abgestützt werden können. Denn es ist ja die Absicht, dass möglichst viel Licht, das durch die linse fällt, genutzt wird. Dieses Problem gibt es bei Spiegeln nicht, denn hier gibt es bloß eine optisch wirksame Fläche, die reflektiert, und das Medium, der Spiegel also, kann über seinem vollständigen Durchmesser an der optisch unwirksamen Seite abgestützt werden.

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